第11回 Derjaguin近似
DLVO理論の成功の基にDerjaguin近似がある（第6回）。平行な2平板間の相互作用エネルギーの計算は簡単である。しかし、2球間の相互作用エネルギーの計算は一般に難しく、Derjaguin近似を用いて計算される。この近似では、2球（半径α、表面間距離H）間の相互作用エネルギーV(H)は平行2平板間（表面間距離h）の相互作用エネルギーVpl(h)（単位面積当たり）から、 V(H)=παVpl(h)dhに従って求める。この式はH « α の近距離に有効であり、任意の相互作用に対して適用され、以下のように導かれる。
図1のように、球を平らな円環の表面をもつ中空円筒に分割し、向かい合う一組の円筒間の相互作用エネルギーを求め（これは平板間相互作用である）、すべての円筒間の対に関して総和を計算する。図1を参照して、距離hにある半径xの2つの円筒（円環の面積は2πxΔx）を考える。総和、積分の上限は∞で近似して、Δxを小さくすると（Δx → 0）、Σƒ(x)Δx → ∫ƒ(x)dx（ƒ(x)は任意の関数）であるから、xdx= (α/2)dhを用いて、以下のように得られる。
Derjaguin近似の厳密な検証は難しいが、以下に述べる2つの点で、近似の妥当性が確かめられる。 (i)2球（半径α、表面間距離H）間のvan der WaalsエネルギーはHamakerの方法で次式が得られる。
この式はH « αの近距離でDerjaguin近似から得られる式V(H) = -Aα/12Hに一致する。
(ii) 1個の球（半径α、表面電位ψo）の中心から距離Rにおける電位ψ(r)はψoが低電位の場合、線形化したPoisson-Boltzmann方程式の解ψ(r)= ψoαe-κ(R-α)/Rで与えられる。
Rが非常に大きいとき（R » α）、粒子は有効電荷Qeffをもつ“点電荷”のように振舞い、その電位分布は遮蔽されたクーロン電位ψ(R)= Qeffe-κR/4πεrεoRで与えられる。
したがって、Qeff= 4πεrεoαeκαψoである。
距離Rにさらに別の同種の球を置くと、2個の球の静電相互作用エネルギーは V(R)= Qeffψ(R)= 4πεrεoαeκαψo × ψoαe-κ(R-α)/Rで与えられる。
R= 2α + H（H= 2球間の表面間距離）と置くと、V(H)= 4πεrεoα2ψo2e-κH/ (2α+H) となる。このように静電相互作用エネルギーを求める近似を2球に対する線形重畳近似と呼び、Rが大きいときに有効である。
ところが、H « αの場合、V(H)= 2πεrεoαψo2e-κHとなり、Derjaguin近似の結果に一致する。さらに、表面電位ψoを有効表面電位（第6回）で置き換えれば 、この式は表面電位が高電位でも適用できる式（第6回(2)式）に帰着する。このように、線形重畳近似（遠距離）とDerjaguin近似（近距離）のそれぞれの適用領域が重なっているために、Derjaguin近似の妥当性が証明された。
